此文发表在《致远》第一期【教研天地】 栏目
江苏省常州高级中学 高二数学备课组
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁， 无处不用数学。 ——华罗庚
我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的你会发现，牙膏的包装有大有小，其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？除了牙膏以外，还有商品都有大小包装之分，如饼干、瓜子、食油等。让我们发现并研究这些数学问题吧！相信你会其乐无穷……
（一）黄金数的广泛应用
从古希腊至今两千多年来，人们赋于0.618称之为神赐的比例，无论是建筑结构、造型艺术、绘画，还是日用工艺品，都显示了种种神秘的色彩和美学的价值.
例如：两边长之比为黄金比的长方形在古代被称为最美的长方形，著名美术大师达·芬奇的世界名画《蒙娜丽莎》原作长为77cm 宽为53cm接近0.618，不仅如此其中还隐含了许多0.618，如上图.
线段AB的长度为1.上面有一点C，BC的长度比上AC的长度，等于AC的长度比上AB的长度，你知道AC的长度为多少吗？
这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，希腊人称之为“中外比”，后来古希腊美学家柏拉图将此称为“黄金分割”，0.618称为“黄金比”.
毕氏学派研究数学的驱动力之一是美感的需要，它直接反映在他们对音乐、图形的和谐性的追求上.
黄金分割不仅在数学中（如几何作图中）有着重要的作用，而且由于它所显示的和谐美，在美术，艺术建筑设计以及日常生活中，都有广泛的应用.
请你尝试发现生活中的黄金比，用黄金比优化我们的生活.
（二）斐波那契数列的性质
先请同学们看一个有趣的兔子数列：
假设一对刚出生的小兔一个月就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，如果没有发生死亡，按逐月计算，每个月初的兔子对数构成如下数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…．
这就是为以意大利著名数学家斐波那契命名的“斐波那契数列” ．
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
那么，斐波那契数列是怎样的一种数列？有什么性质？不妨试一试，说不定你也会成为伟大的数学家！
（三）多面体欧拉定理的发现
足球——这个绿茵场上的精灵，不知使多少人为之魂牵梦绕，但又有多少人能真正了解足球呢？
如果把组成足球的每一面看成平面.则足球就是一个多面体.所有的面只有两种形状:正五边形和正六边形.那么你知道一个足球各有多少个正五边形和正六边形?有规律吗?还有,
这个多面体的面数、棱数和顶点数之间又有何关系？是不是所有的多面体的面数、棱数和顶点数都有这样的关系呢？
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后会变成什么呢？
欧拉对多面体的研究作出了很大的贡献，我们可以跟着大师进行探索，发现多面体的趣味….
（四）分 形
世间万物有千姿百态的形式，都有着几何图形的影子.这几个雪花是什么几何图形？
由图1那样的等边三角形开始,把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边.接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.这种方式称为“分形”.
在现实世界中，几何形体可以分为两大类.
一类是规则、光滑的、可以由直线段、平面片或小六面体来实现，研究这一范畴的学科为传统几何学.另一类的自然形态是不光滑、不规则的,具有精细的结构或自相似特征，不能用传统的几何语言描述，我们称之为分形.如海岸线、山形、河川、树木、闪电等自然景物，以及微观世界内复杂且精细的结构、宏观世界里天体演变的各种形态.研究这一范畴的学科称为分形几何学.分形几何学的诞生对人类研究自然景物提供了一个很好的工具，让我们更好地去了解自然的壮丽与数学所带给人们的美的享受.
树木结构，树叶分布，岩石裂缝，金属损伤裂缝，道路分布，神经末梢的分布，星空图案……分形无处不在.
分形——现代数学的宠儿,已经越来越多地被运用到我们的日常生活中.
你能用分形的方法构造出美丽的图形吗？
（五）圆锥曲线的包络线
细心的同学们已经发现，在我们教科书选修2-1第31页、第39页、第50页各有一道操作题，好学的你们是否动手试一试了呢？爱动脑筋的你们是否想过理论依据是什么呢？
你还有其他发现吗? 请以此为素材，写一篇小论文.
（六）圆锥曲线的光学性质
圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，工业、农业、医学、军事等领域都很好地应用了光学性质.那么，圆锥曲线到底有哪些光学性质？你会证明吗？
请同学们阅读教科书选修2-1第54-55页，思考：圆锥曲线到底有哪些光学性质？你会证明吗？并以此为素材，写一篇小论文.
（七）离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”
我们知道，圆锥曲线的离心率小于1时，是椭圆；等于1时，是抛物线；大于1时，是双曲线，很好地体现了离心率的量变而至曲线形状的质变.那么，当圆锥曲线的离心率相同时，形状也保持不变吗？
请同学们参考教科书选修2-1第67页的写作题，尝试证明：离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”.并以此为素材，写一篇小论文.
（八）购房贷款决策问题
CCTV新闻调查中的一段新闻报道：中国近几年来“负翁”增多——中国的年轻一代的消费观念正发生巨大变化，一般的“工薪阶层”正兴起买车潮、买房潮，他们敢于用明天的钱来享受今天的生活，过起了名副其实的“负翁”生活，其主要原因是中国的各家商业银行、各商家的分期付款业务的开通.
若顾客想要够买一台价值a元的家庭电脑，顾客如果一次性付款，那么商家就会将这a元直接存入银行或进行下一次投资，这样商家会得到利息或取得利润.但顾客如果选择分期付款方式，则须将每月还额按复利计算还给商店，此时，商店不会亏本，而顾客则须为其多加付利息.由此看来分期付款会使顾客多花钱，但从另一方面来讲，作为占绝大多数的工薪家庭来说，分期付款也给他们带来了便利，他们不必非要一次性攒够相当一笔数目的钱就可以买到他们需要的东西，当然，分期付款的好处与范围还远远不止这些呢！
“如果你要用分期付款方式买房，那么你知道有几种还款方式吗？哪一种更合算？”是等额本金？等额本息？贷10年还是20年？
“如果采用公积金贷款，那么与商业贷款的区别有多大？”
“提前还款将如何计算利息？
“如果遇到利率调整，将如何计算利息？”
还有其他贷款形式：
1、助学贷款 2、购车贷款 3、维修贷款 等等
贷款合理化问题：
如：首付是否越少越好；还款期限多长为宜；还款方式；提前还贷值不值……
这些问题有待于我们继续研究，给我们留下了继续思考的空间.
（九）运动场上的数学
问题1：从起跑到冲刺
生活里处处有数学，运动场上也不例外.比如在田径场的跑道上，从起跑到冲刺，就有不少数学问题.
1973年，数学家凯勒(T．B．Keller)曾用数学工具研究赛跑.谁都懂得，百米赛跑比的就是速度，速度是衡量短跑运动员技术水平的数量标志.凯勒通过大量观测、计算和研究，利用数学工具，搞出了一个“百米赛跑数学模型”.这种数学模型是百米赛跑时运动员的速度与路程之间的关系的一条曲线，即速度作为路程的函数的一条曲线.见图1-1，期终横坐标轴(s轴)表示路程，纵坐标轴(v轴) 表示运动员的速度.图1-1中的曲线表示运动员从起跑到冲刺这个全过程的速度变化.
这种百米赛跑数学模型有什么用处?
对于不同的运动员，这条曲线的形态不尽相同，但都类似于图1—1.有了这条速度与路程关系曲线，你就可以从中寻找出自己的弱点：或者起跑技术不够好；或者中途跑未能发挥出最高跑速，或者最高跑速持续时间太短，后劲不足；或者冲刺技术欠佳，等等，从而进行针对性的训练，克服弱点，使技术更加全面.
起跑技术对于短跑运动员至关重要.历史上曾有过各种各样的起跑方式，而现今最流行的是蹲踞式. 据说，一位美国人从袋鼠的起跑得到启发，发明了“蹲踞式”起跑.1888年，美国人首先在比赛中采用这种新的起跑姿势.采用蹲踞式起跑，起跑时用力后蹬两腿，把身体“弹”出去，尽快摆脱静止状态，尽早获得高速度.运动员为了双腿后蹬有力，就在起跑处挖坑刨穴，这就出现了起跑穴.后来，起跑穴让起跑器代替了.
起跑器应当怎样放?起跑器的支板与地面应成多少度角?这似乎没有一致的答案，可以说是因人而异各取所好.不过，你也许在200米或400米赛跑中见过这种“怪现象”，在弯道起跑时，有的运动员不是把起跑器安放在跑道的内沿，也不是放在跑道的正中，而是放在跑道的外沿.明摆着，起跑器紧挨跑道外沿，这得多跑一段路，不是无事生事，净给自己添麻烦吗?
难道他们就这样傻?不，才不傻呢.他们这样做，有数学头脑.若是不信，不妨仔细想一想，认真算一算，就可以悟出其中的道理.
问题2：怎样排出比赛程序表
几个球队参加篮球比赛，或是排球比赛，或是乒乓球团体比赛，几名选手参加乒乓球，或是羽毛球，或是网球单打比赛，常常采用淘汰赛或者循环赛.所谓淘汰赛，就是在一场比赛之后，失败者被淘汰，胜利者进入下一轮比赛，直到决出冠军为止.所谓循环赛，就是每两个队(选手)之间都要进行一场比赛，最后根据各队(选手)的总成绩按照某种约定的规则排出名次.
举行一次篮球比赛，排球比赛，或者是乒乓球比赛，比赛的组织者能不能合理地排出比赛程序表，这可是一个重要的课题.
问题3：田径场上为何有这么多不同的起跑线？
小甘每次都参加学校的春季秋季田径运动会，在最近一次的比赛中，还分别在200米和4*100米接力项目中取得奖牌.但在某一天的数学课堂上，却对老师的提问哑口无言：“田径场上为何有这么多不同的起跑线？而起跑线的差距又有什么数学关系呢？”
你能帮小甘解决他的难题吗？
高二数学备课组
2008年12月15日
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