此文发表在《致远》第一期【学科教学】栏目
江苏省常州高级中学数学组 尤菊兰
一、思考一：教学方法
概率，在我们的生活中使用较为频繁，对学生来说并不陌生，尤其在初中已经接触了概率的初步知识，对概率有了一定的感性认识．本章的第一小节，同学们通过对大量生活实际问题的研究分析，通过亲自试验，了解了随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，从而得出概率的统计定义．这些为本节的学习提供了知识准备，能力和方法的保障．
概率的统计定义，是人们通过大量的重复试验和观察得到一些事件的概率估计．这种方法的工作量较大，结果有一定的摆动性，有些试验还具有破坏性，因此，需要建立一个理想的数学模型来解决相关问题，等可能事件概率模型即是这样的一个模型．等可能概率模型根据其基本事件的个数是有限还是无限又分为古典概型和几何概型．应用这两种概型，可以很方便地解决许多概率计算问题．但从统计频率来估计概率到应用概率模型计算概率，是一个从具体到抽象，从实践到理论的数学建模过程，对初学者来说还是有一定的困难，在具体的建模过程中常会出现一些错误．
根据以上情况分析，本节课的教学应采取探究式教学法，从具体的生活、实际问题入手，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，让学生以探索者和研究者的身份，探究式地建立模型，参与建构知识的过程．教师在引导学生探究的过程中，尽量为他们提供原理分析、思维策略、规范表示上的指导.让他们在参与中体验，在失败中反思，在反思中感悟，在感悟中牢牢掌握．
二、思考二：古典概型
应用古典概型计算概率，根据计算公式，只要了解一次试验中等可能基本事件的个数即可，看似简单，但在具体问题的处理中，常常出现确定的基本事件不等可能，个数的计算有误，等等问题．事实上，等可能基本事件的确定以及个数的计算，是本节的难点，也是重点．
2．1 基本事件的确定
根据概念，首先要了解做的是什么样的一次试验，从而了解一个基本事件对应于怎样的一种实际问题，进一步就能确定一次试验出现的所有可能结果，即一次试验的所有等可能基本事件.例如：
【问题1】同时抛掷两枚均匀硬币，则两枚均正面朝上的概率是多少？
一次试验：同时抛掷两枚均匀硬币，并观察落地后两枚硬币朝上情形；
很自然地想到，一个基本事件对应于落地后两枚均匀硬币朝上的一种情形，那么，所有朝上情形个数就是所有基本事件的个数．
【问题2】口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，且不放回，试计算第二个人摸到白球的概率．
一次试验：4个人按顺序依次从中摸出一球；
很自然地想到，一个基本事件对应于4个人按顺序依次从中摸出一球的一种结果，那么，所有结果数就是所有基本事件的个数．
2．2 基本事件的等可能性
根据概念，基本事件的确定一定要保证等可能性．
以【问题1】为例：
当时同学们对这个问题有两种不同意见，一种意见认为：基本事件有3个，即
两正，一正一反，两反，所以，答案为；另一种意见认为：基本事件有4个，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以，答案为．
面对不同意见，一方面可以引导同学们通过大量重复试验，肯定正确意见；另一方面，引导同学们分析一次试验出现的所有可能结果，是不是等可能的，事实上，一正一反是由其中一个是正另一个是反两种结果组成，如果看成一个基本事件，那它出现的可能性和其它基本事件是不相同的．
2．3 等可能基本事件的可选择性与匹配性
在建立古典概型时，把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）是可以人为规定的．重点是：保证每次试验有一个且只有一个基本事件出现，且是等可能的．因此，我们可以从不同的角度去考虑一个实际问题，将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单．
以【问题2】为例：
解法一 用A表示事件“第二个人摸到白球” ．把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2．于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来（只画一棵树，其它树可类比得到.）：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24．由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率为P(A)= = ．
解法二 因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况．
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2
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前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来（只画一棵树，其它树可类比得到. )：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为12．由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，属于古典概型．在这12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率为P(A)= = ．
解法三 只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的，属于古典概型．第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率为P(A)= = ．
的确，问题的解决越来越简单！
事实上，解法二中的每一个基本事件都包含了解法一中的两个基本事件；解法三中的每一个基本事件又都包含了解法一中的六个基本事件，包含了解法二中的三个基本事件，这就是它们之间应有的内在联系．
因此，划分基本事件的标准是可以选择的．但注意：标准一旦选定，总的基本事件与所求事件的基本事件的确定都必须按照这一标准执行，即匹配性．
思考3 基本事件的个数计算
目前，古典概型的计算量不大，主要用枚举法．因此，选择适当的方法，有规律地列举，可以大大降低出错的概率，同时也培养了学生的分类讨论思想．
2．1 树形图
文中的问题2采用了树形图枚举，由于形状像树而得名，一般只画一棵树，其它树可类比得到．此法适用于事件是几个对象的排序问题，不同的排序表示不同的结果．文中的问题1也可以用树形图枚举．
3．2 图表法
图表法比较适用于事件是几个对象的组合问题（比如求几个对象的和与积等），如
【问题3】 任意抛掷两粒骰子．
(1)其中向上的点数之积是12的结果有多少种?向上的点数之积是12的概率是多少?
(2)其中向上的点数之和不低于10的结果有多少种?向上的点数之和不低于10的概率是多少?
解析 任意抛掷两粒骰子，其中向上的点数的所有可能结果可用列表法．
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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1
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（1，1）
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（1，2）
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（1，3）
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（1，4）
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（1，5）
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（1，6）
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2
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（2，1）
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（2，2）
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（2，3）
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（2，4）
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（2，5）
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（2，6）
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3
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（3，1）
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（3，2）
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（3，3）
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（3，4）
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（3，5）
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（3，6）
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4
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（4，1）
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（4，2）
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（4，3）
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（4，4）
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（4，5）
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（4，6）
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5
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（5，1）
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（5，2）
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（5，3）
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（5，4）
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（5，5）
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（5，6）
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6
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（6，1）
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（6，2）
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（6，3）
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（6，4）
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（6，5）
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（6，6）
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从表中可看出基本事件总数36个．
(1) 其中向上的点数之积为12的结果有4种情况，所求概率是 ；
(2)其中x+y≥10的有6种，所求概率为 ．
在有些问题中，由于一次性取出几个对象，从而无序，只列“半表”．如：
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（1，2）
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（1，3）
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（1，4）
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（1，5）
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（2，3）
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（2，4）
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（2，5）
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（3，4）
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（3，5）
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（4，5）
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【问题4】一只口袋装有形状、大小都相同的5只小球，其中有3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，试求：
(1)2只都是白球的概率；
(2)1只是白球，1只是红球的概率．
解析 分别对3只白球编号为1，2，3，对2只红球编号为4，5，对所有结果数列表，由于无序，只列“半表”（如图）．
由表可得所有结果有10种．
（1）由表可得“2只都是白球” 包含的基本事件个数为3，因此概率为 ；
（2）由表可得 “1只是白球，1只是红球” 包含的基本事件个数为6，因此概率为．
3．3 两个计数原理
关于基本事件的个数计算，还可以应用分类计数原理和分步计数原理．
原因一：这两个计数原理学生容易掌握，特别是部分同学已经掌握；
原因二：应用两个计数原理可以避免画树形图或列图表，直接计算基本事件的个数，简化运算．
事实上，我们使用的教材苏教版必修3第95页例3中应用了分步计数原理，只是没有提出名称而已．又如：
问题1中，其中一枚硬币朝上情形有2种，另一枚硬币朝上情形也有2种，由分步计数原理得总的基本事件个数为2×2=4．
问题2中总的基本事件个数的计算也可以应用分步计数原理，以解法一为例：
第一步：第一个人去摸球，有4种不同结果；
第二步：第二个人去摸球，有3种不同结果；
第三步：第三个人去摸球，有2种不同结果；
第四步：剩下的最后一人只有一种结果．
由分步计数原理，得“4个人按顺序依次从中摸出一球”的所有可能结果数为4×3×2×1=24．
本文中其它几个问题也可应用这两个计数原理，读者不妨一试。
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