等差数列（第一课时）教案
【教学目标】
1．理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法以及简单应用．
2．在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力．
3．通过自主的探索活动，获得新知识，感受到成功的喜悦，培养理性思维和创新意识．
【教学重点】
等差数列的定义，等差数列通项公式的推导及应用．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导以及通项公式的函数意义的理解．
【教学方法】
探究发现式教学法
【教学手段】
采用实物投影仪
【教学流程】
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问题情境
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学生活动
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意义建构
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数学运用
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回顾反思
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【教学过程】
一、问题情境
1．情境：教材P29 2．1节开头第一个问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…．说出第10排有多少个座位？第30排呢？
二、学生活动
活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初步认识．
问题1：观察下列数列有何共同特点？怎样用数学语言刻画你所观察出来的数列的特点？
(1) ； (2) ；
(3)； (4) .
(5) ．
活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义又认知．
问题2：在等差数列中，若公差为，请根据等差数列的定义，写出与相邻两项相关的等式．
活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义再拓展（即等差数列通项公式的推导）．
问题3：设是一个首项为，公差为的等差数列，你们能得出更一般的结论，写出它的第项的表达式吗？
三、意义建构
（一）关于等差数列定义的学习过程
1、等差数列定义的初认识
以问题1为背景，通过对问题2的思考，在学生归纳表达的基础上，完整揭示等差数列的定义,出示课题． 再次提出新问题，引出公差的概念及符号表示.
2、等差数列定义的又认知
以问题3为载体，首先就等差数列定义进行数学文字语言与符号语言的互译．然后得出等差数列定义的符号语言：．
（二）关于等差数列通项公式的学习过程
以问题4为载体，对等差数列定义的进行再拓展．组织讨论、进行交流，展示结果、归纳总结．
四、数学运用
情境问题的解决
例1（教材P36例2）：在等差数列中，已知 =10， =28，求．
学生自主解决，探究等差数列通项公式更一般的形式：．
学生自主完成，感受等差数列与一次函数的关系．引导学生合作探究等差数列通项公式反映的一些本质特征．
五、回顾反思
交流本节课的学习收获，归纳提炼确定（等差）数列的一般方法，总结推导等差数列通项公式过程中涉及的解决数列问题的常规方法．
六、课外作业
1、必做题：教材P35练习第4、5题；教材P37练习第2、5题；教材P38习题第2、3、4、题；
2、选做题：教材P38习题第5、6、7题．
观察量表：
课堂观察量表一：学生的思考习惯
l 量表设计：丁明明
l 观察维度：课堂文化·思考
l 研究问题：学生在课堂中的思考习惯怎样？
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时间
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2011.02.14
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学校
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省常中
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班级
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高一(12)
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科目
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数学
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课题
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等差数列
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授课教师
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陈玉娟
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课堂观察的主题
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学生在课堂中的思考习惯
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教学环节
观察内容
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环节一
（老师举出例题）
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环节二
（学生解答[另两
名学生黑板板书]）
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环节三
（老师就学生
的解答作出评价）
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学生的课前准备习惯
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1、绝大部分学生准备了参考书，讲义。
2、大部分学生准备了笔记本和稿纸，少数学生没有。
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学生在课堂中的思考习惯
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讨论
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无
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极少数学生
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大部分学生
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笔记
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无(有讲义)
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无
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部分学生
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看书/查阅资料
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无
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基本没有
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基本没有
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计算/草稿
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全部学生
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全部学生
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部分学生
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对观察数据的分析
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从以上数据来看，本人觉得本班学生偏向于独立思考，相互讨论的积极性不高，另一方面可能也说明学生极少愿意提出创新性的质疑。
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课堂观察量表二：课堂提问的有效性
观察维度：教师提问的有效性
课题： 等差数列 班级：高一（12）班 授课教师 陈玉娟
观察者： 刘丽嫔 时间：2010年2月14日
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具体问题
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指向性
A清晰
B模糊
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层次性
A识记
B理解
C应用
D其他
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回答形式
A个人回答
B集体回答
C启发回答
D其他
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理答情况
A表扬
B补充
C引导
D其他
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1情境：某电影院第一排开始的座位数依次是20，22,24,26,28……第10排有多少个座位，第30排呢？
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A
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C
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C
|
C
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2问题（1）：观察下列数有何共同特点？
（1）2,4,6,8,10……
（2）1,3,5,7,9……
（3）2.5,5.5,8.5,11.5,14.4
(4)5,0,-5,-10,-15……
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A
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B
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A
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A
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3 请用文字语言描述等差数列的定义
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A
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A
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A
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A
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4问题（1）中的4个数列的公差分别是什么？
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A
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B
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A
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A
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5请用符号语言描述等差数列的定义？
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A
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A
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A
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B
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6设是一个首项为，公差为d的等差数列，你能用多种方法推导该数列的第n项关于自变量n的表达式吗？
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A
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B
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C
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B、C
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7回到问题1，写出各个数列的通项公式，从通项公式看有什么共同特点？
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A
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B
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A
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B
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8从图象角度看，这些数列有什么特点？
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A
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A
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A
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A D
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9等差数列有怎样的单调性？
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A
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B
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A
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A
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10例1.在等差数列中，
求。
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A
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C
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A
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A C
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11之间具备怎样的等量关系？
之间呢？
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A
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B
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A
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D
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12你能得出等差数列中任意两项更一般的结论吗？
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A
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B
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A
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A
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13给本节课做一个小结
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A
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B
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A
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BD
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课堂观察量表三：学生活动
课题： 等差数列 班级：高一（12）班 授课教师 陈玉娟
观察者： 缪峰美 时间：2010年2月14日
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内容
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任务是
否明确
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活动形式
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时间
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任务完成情况
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评价
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活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初步认识．
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明确
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课前预习
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寒假
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较好
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预习很充分
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活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义又认知．
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明确
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师生一问一答
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2分
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较好
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学生思考时间少，学生的回答目标性较强
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活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义再拓展（即等差数列通项公式的推导）．
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明确
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小组讨论，投影展示
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10+5分
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较好
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学生推导方式基本方法正确，但细节问题仍须关注
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活动四：自主学习方式，巩固定义
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明确
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师生一问一答
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3分
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较好
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未意识到整理合并成关于n的一次函数式
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活动五：从函数的角度看等差数列
1图像 2单调性
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明确
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师生一问一答
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3分
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较好
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对要时刻注意
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活动六：自主学习方式，进一步拓展等差数列的定义
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明确
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阅读教材自主探究
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10分
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较好
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个人反思
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学生活动积极主动，教师引导恰当到位，学生对概念的掌握逐层深入
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课堂观察量表四：课堂的互动行为
l 量表设计：杨元韡
l 观察维度：教师教学中的以问答形式的互动
l 研究问题：教师教学中的问题的有效性
l 观察者： 杨元韡 时间：2010年2月14日
l 课题： 等差数列 班级：高一（12）班 授课教师 陈玉娟
表1：问题记录
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编号
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问题记录
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问题解决方式
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1
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情境问题：……第10排有多少个座位？第30排呢？
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学生回答：
用公式（已经预习）
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2
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还有别的方法吗？
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学生回答：列举
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3
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还有其他确定数列的方法吗？
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未回答，本节将要研究的内容之一
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4
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下列数列的特点是什么？（列出几个等差数列）
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学生回答：相邻两项的差相同
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5
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还有什么特点？
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学生未能回答
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6
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什么叫等差数列？能不能下一个定义？
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教师在学生总结下板书
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7
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列举的几个等差数列的公差分别是什么？
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学生回答（正确）
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8
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如何用符号语言描述等差数列？
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学生回答（正确）
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9
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还有什么方法？两个表达式中各有什么限制？
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教师解决（仅下标选取不同）第一问，学生回答第2问？
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10
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递推与通项都是确定数列的方法，它们有什么关系？
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未回答
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11
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已知等差数列的首项，公差，用多种方法推导关于的表达式
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学生投影：
累加法
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12
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还有什么方法？
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学生投影：不完全归纳法
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13
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等差数列的通项公式是什么？
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教师板书
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14
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前面列出的几个等差数列的通项公式是什么？
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学生口述，教师书写
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15
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从通项公式可以看出这些数列有什么共同特点？
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学生回答：关于的一次式
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16
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所有等差数列的通项公式都是的一次式吗？
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教师板书改写通项，学生回答正确，可能也是零次式
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17
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3,3,3，…的通项公式是什么？
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学生口答
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18
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从图象来看这些数列有什么共同特点？
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学生1：射线
学生2：离散的点
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19
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等差数列有怎样的单调性？
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展示图，点评
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20
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例题1：已知等差数列的第3项、第9项，求第12项的问题
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学生解决直接先求公差，再求该项。教师点评，后看教材。
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21
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你能得出等差数列中任意两项更一般的结论吗？
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学生回答（正确）
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22
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怎么证明上述结论的？
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学生回答（正确）直接利用通项公式证明
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23
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同学们说一说这节课的收获
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口答不完整，课件展示说明了确定数列的方式，以及方法的总结
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表2：问题分析
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观察内容
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课堂现象描述
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结果的分析
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典型
行为
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1．大问题是怎样提出的？
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从情境和具体问题中提出的
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符合学生的认知规律，先具体后抽象
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2．提出了几个大问题？是否都已经解决了？若否，解决了其中的几个？
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2个大问题：等差数列的定义；等差数列的通项公式，都解决了
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课堂的教学目标定位准确，并能实现
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3．大问题的解决，若以小问题链的形式解决的？那么这些小问题是否有梯度？
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是，一条主线下来，层层递进
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体现出老教师对问题设计的能力很强
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4．3中的小问题是否与大问题紧密相关？
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紧密
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问题有效性强
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5．3中的小问题是否表达清晰明了？
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是的
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指向性强
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6．3中的小问题，不同的学生是否有不同的回答？能否体现出差异性？
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是的，比如前面的问题18
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体现了学生差异，同样培养学生的思辨性
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7．3中的小问题， 如果由个别同学解决，那么对其他学生利用怎样的形式让他们理解？
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继续盘问，或者点评
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教师的教学行为恰当
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8．小问题链是否能完全解决大问题？
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能
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有些小问题很多基于学生的回答，体现了生成性
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9．学生对大问题是否完全理解是否有反馈？
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有，大部分学生理解了，从例题的解决过程中可以体现
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总体
印象
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本节课整体设计很好，把握教学目标设计问题，层层递进，整体效果好。个别不足之处是一些细节：比如累加法中得到的通项，对第一项的验证等。
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研讨会议记录：
周敏泽：探索性课堂已经开展第四期了，今天陈玉娟老师的课题《等差数列》第一节正好和去年杨春松老师的课题有点近，相近的内容可以带来不同的思考，这非常好。我觉得思考应引起大家的关注，达到共识以及受到启发。
从今天的课堂设计来讲，整堂课浓缩了数列的整体框架，展现得很大气。陈老师借谈等差数列，整合了数列中的穷举法、递推法、通项法、图像法。下面，我来谈几点我的想法。
第一，从递推关系谈通项公式时，学生1直接提到了累加法，这是一种技巧的方法。学生其实掌握得不够，只是从书本上预先到的；学生2利用归纳法得到通项公式，这是一种经验所得；至于迭代法的得出应再探讨一下它的前因后果，以及与其他方法的联系。
第二，在谈到通项公式时，学生直接得到的都是，那为何整理成这样的形式呢？为何不是？
第三，在例1的讲解时，学生超出了教师的预料用了抽象的想法，然后教师带领学生看课本上方程组的想法，即归一法，回到首项和公差。它们两种想法有内在联系吗？
第四，细节不能忽视，需要再推敲。如等差数列定义讲解时，对等的解释；如联系函数图像时，项序数和项之间的关系；不完全归纳的过程要充分展示。
杨春松：陈老师的回顾总结是本节课的亮点，对于本节课我也有几点想法：
第一，情境中没有给出常数列，在回顾总结中再辨析给出，非常好；
第二，在谈到时，可以是任意的，但是改变为时应注意 .
周敏泽：对于杨春松老师所提到的，它的几何意义是斜率，在本节课中不应提到。可以在联系函数单调性时去谈。另外例1学生既然一开始就想到了抽象的办法，那么教师可以提炼到更简单的想法，不用算公差更好。
尤菊兰：陈老师的课堂驾驭能力很强，不仅值得年轻老师学习，而且也值得老教师学习。我也提几点我的想法：
第一，课堂结构很紧凑，但是感觉给学生探究的偏少。如例1完全可以给学生时间多探究，可能会出现意想不到的效果，学生的收获也会更多；
第二，教师语言应更规范一点。陈老师在定义等差数列的定义时说到“从第2项起，后一项与前一项差为同一个常数”，“后一项”不明确；
第三，通项公式的概念最好应该提一下，为何用来表示。
徐德同：第一，课本的例题非常不错，应该好好利用一下，可以加深对等差数列的理解；
第二，等差数列定义的符合语言出来得太快些。
周健：预习指导下的课堂情境学生解决得会很快，如何让学生暴露出思维上的问题是关键。
蒋亚红：第一，预习指导下的教学情境应如何呈现？是否可以以复习检查预习的形式出现？
第二，预习后的一些问题是否可以简单跳过？
等差数列（第一课时）教学设计与反思 陈玉娟
【设计说明】
一、设计理念
本节课的设计理念是：倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法，使学生学会学习，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习方式不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还必须倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．为此在本节课的课堂教学设计中，教师根据学生的身心特征，针对不同的教学内容，设计不同的学习方式， 鼓励学生在参与的过程中获得体验，产生学习数学的积极情感．力求发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．
二、教学内容和教学目标
本节内容选自江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书》必修5第2章“数列”第2节“等差数列”第一课时．本节教学中，通过对 “剧场的座位” 这个生活中的实际问题和一组特殊数列的数学实例的分析，发现和建立等差数列的数列模型，探索并掌握等差数列的概念以及等差数列通项公式的推导过程．在公式的推导过程中，通过观察、猜测、归纳、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会特殊到一般，一般到特殊的思想方法，体会等差数列与一次函数的关系．通过建立等差数列模型，以及运用有关知识解决相应的问题的过程，培养学生数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础．
三、本节内容的地位和作用
“数列”一章以现实问题为背景，体现“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”的过程．按照“问题情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数，进而建立起等差数列和等比数列这两种数列模型，并探索等差数列与等比数列的一些基本数量关系，研究这两种数列模型的广泛应用．
等差数列是本章重点研究的两种数列模型之一，地位的重要性可想而知．通过本节内容的学习，学生能更深地了解前一节所学的数列的概念，更好地体会数列是一种特殊函数即一次型函数．类比于等差数列的概念、通项公式的推导，可以得到等差数列前n项和公式以及等比数列相应问题的研究．所以说本节内容对全章学习起到重要的承上启下的作用．另外，本节内容中体现的数学思想，均能贯穿于数列全章学习乃至整个高中数学学习过程中．如从特殊到一般，一般到特殊的数学思想、函数思想、方程思想和类比思想等等．
四、教学诊断分析
学生容易理解的内容：等差数列定义的数学文字语言表述及等差数列通项公式的简单运用．
学生不容易理解的内容：等差数列定义的数学符号语言表述及等差数列通项公式的推导方法．
五、教学媒体的运用
运用PPT和实物投影仪，可以及时、迅速、真实展示学生的数学解题过程，以便教师有针对性地进行点评和指导．
【教学反思】
一、课堂教学中学习内容的设计反思
“等差数列”第一课时以概念为主，主要内容是等差数列的定义和通项公式．而等差数列的通项公式与前n项和的公式的导出都离不开等差数列的定义，因此，本节课教学内容和教学过程都围绕和紧扣等差数列的定义而展开，试图产生水到渠成、一气呵成的效果，课堂实践基本达成预期效果．最后的总结提炼意图起到画龙点睛的作用，课堂实践效果较好，但还需注意细节的完善。如累加法中要检验n=1的情况，要让学生更多地了解迭代法是如何想到的，体验提炼迭代法的必要性。
二、课堂教学中学生学习方式的设计反思
笔者在教学实践中深切体会到，课堂教学的设计不仅要精心考虑教师教的方式，更要精心设计学生学的方式，关注学生的主体参与，师生互动．针对不同的教学内容，在教师的指导下，分别采用阅读自学，自主探究，小组讨论，全班交流等不同的学习方式．由于自主学习强调的是学习的内在品质，探究学习强调的学习的手段、途径；合作学习强调的学习的组织形式．所以只有将三者有机整合，综合运用，才能使教师的主导作用和学生的主体作用得到充分协调的发挥，使课堂教学取得最佳效果．只有这样，才能使学生体验数学发现和创造的历程，对知识有更加深刻的认识和理解，学会数学的思考方式和学习方式，同时提高学生的探究能力、创造能力和创新意识．课堂实践基本达成预期效果．下面就课堂教学过程中学生活动的三方面进行反思阐述．
活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初认识
设计理念：社会的发展需要终身学习，而学生在学校中只能获得其需要的部分知识和初步能力，更多的必须在其未来的认识历程中依靠自主学习而获得．
课堂实况：学生能观察出数列的特点，但语言表达不够数学化，不够准确，不能突出重点字词“从第二项起”、“差为同一个常数”．通过同学的补充说明及教师的引导，基本能用数学文字语言准确表述．
课后反思：今后教学中应有意识培养学生的观察能力和数学口头表达能力．
活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义再认识
设计理念：学生的数学学习是通过数学活动进行的．学生在数学活动中依据自己的经验和体会，用自己的思维方式建构的数学知识，才是真正理解、掌握了的知识，是其自己的知识．通过做数学来学习数学，是学生学习数学的有效途径．
课堂实录：课堂发言的同学表述较好．
课后反思：学生对数学文字语言和数学符号语言的翻译能力参差不齐，发言的同学虽然回答正确，但估计可能还有同学不能准确表达自己的思维过程．今后数学教学中不仅要教学生“做数学”，还有教学生“说数学”，培养学生数学抽象能力和数学语言表达能力，在时间和空间上给予学生更多的探究机会．
活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义进行再拓展（即等差数列通项公式的推导）．
设计理念：在数学学习活动过程中培养学生与同伴的合作、交流的能力是十分重要的，因为在此过程中，学生不仅要正确地表达自己的思想，还要学会倾听与理解他人．表达与交流的过程，有利于学生梳理和完善自己的思维，进而发展他们探讨数学知识和思考问题的能力．
课堂实录：有两位同学分别用累加法和不完全归纳法推导出了公式．
课后反思：只有一半左右的学生能从等式组的结构特征出发，观察出等差数列通项公式．课堂实践说明教学中要加强培养学生的观察和归纳能力．另外还应多选择合适的数学学习内容，设计学生合作学习的方式．
下一阶段研究方向：
1、思维的深度、广度是当前比较突出的问题，思维层次决定思维品质。以“聚焦思维活动”为主题，以提升课堂品质为出发点，我校举行的探索性课堂教学展示很好地提高了课堂效率和教学质量，为了推动学科课堂的效率，数学组今后应加强教研组备课组的团队意识，多进行课堂的探索，创设新型的教研文化。
2、今后组内开设的公开课，争取每位老师都能根据课堂观察主题设计观察量表，尝试听评课方式的转变，提高公开课的功效。
3、课堂教学的设计不仅要精心考虑教师教的方式，更要精心设计学生学的方式，关注学生的主体参与，师生互动．针对不同的教学内容，在教师的指导下，可以采取不同的学习方式，可以将自主学习、探究学习、合作学习三者有机整合，综合运用，才能使教师的主导作用和学生的主体作用得到充分协调的发挥，使课堂教学取得最佳效果．只有这样，才能使学生体验数学发现和创造的历程，对知识有更加深刻的认识和理解，学会数学的思考方式和学习方式，同时提高学生的探究能力、创造能力和创新意识．
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