例谈数学教学中“问题链”设计的原则(待续)
杨元韡
（江苏省常州高级中学 213003）
学习总是从问题开始，问题总是与学习伴行，所有问题解决必定以对问题存在的认识为起点的．数学的学习也不例外．认知心理学认为“问题”必须包括四个方面，即目标、给定条件、转换方法和障碍．从某种意义上说，数学教学是“提出问题---解决问题---再提出问题---再解决问题”的过程，所以数学教学提倡“问题链”的教学模式，已经成为当代数学课堂教学改革的重要特点之一．
所谓的问题链是教师为了实现一定的教学目标，根据学生的已有知识和经验，针对学生学习过程中将要产生或可能产生的困惑，将教材知识转化为层次鲜明具有系统性的一连串的教学问题，是一组有中心相对独立而又相对关联的问题．从形式上看，问题链是一问接一问，一环套一环；从内容上看，它是问问相连，环环紧扣；从目标上看，它是步步深入，由此及彼．它的每一问都可使学生的思维产生一次飞跃，它像一条锁链，把疑问和目标紧紧地连在一起．“问题链”不是教师提几个问题加上学生的回答，而是师生双方围绕环环相扣的问题情境，进行多元的、多角度的、多层次的探索、学习和发现．有经验的教师总是能抓住学生的好奇心和探求心理，根据教学内容、知识体系和学生的认知结构、认知水平，精心设置一组问题链进行启智导学．在数学教学中，如果教师能根据数学教学的课型、不同的目的要求巧妙地设计问题链，创设特定的问题情境，便能将学生的思维一次又一次地推向高潮，极大地激发学生的学习热情和学习兴趣，突出学生在学习活动中的主体地位．
设计数学教学的“问题链”要根据数学课程的培养目标、内容特征、学生已有的经验和认知等多方面综合考虑，“问题链”的所有问题个体本身具有科学性外，整个“问题链”还应尽可能体现出目标性、适度性、有序性、开放性、多维性等原则，但也不一定要面面俱到．
1.目标性的原则
章建跃博士曾指出：“构建反映数学内在发展的逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使得核心概念、思想方法在数学课堂得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手．”所以数学核心知识、思想方法是“问题链”的连心线，也是问题链要充分体现出来的目标．充分体现出这样的目标的“问题链”可以利于重难点的突破，使得课堂的效益提高．
案例1 二项式定理的教学片断
问题1：请展开乘积式，并指出展开后共有多少项．
问题2：从上述展开式中各项的下标来看，这些项有怎样共同的特点？这些特点说明了什么？
问题3：在问题1中，为什么展开式有8项？
从问题3到问题4的过渡的教学片断：
在等式的展开式中，若令，，则可以得到．
如果我们将理解为第个括号里的，将理解为第个括号里的（就是将每个括号内的，作标记），并利用箭头图体现特殊化过程中展开式的各项来源：；；；．
问题4：上述 ,,,的系数分别为1,3,3,1，它们是怎么来的？请给出合理的解释．
下表中给出了各个问题的具体目标：
|
问题序号
|
问题的主要目标
|
|
1
|
通过给出较熟悉的问题情境作为后续讨论的起点
|
|
2
|
揭示问题1的展开式中的各项的来源（每个括号各选一个字母后相乘）
|
|
3
|
根据问题2的结论，利用分步计数原理理解问题1的结论
|
|
4
|
结合问题2和问题3，以及特殊化的过程揭示展开式中的各项的系数的来源
|
这个案例的“问题链”的目的是从一个学生较为熟悉的简单的情境开始逐步建构起二项式定理的一个特例，然后让学生从特殊到一般的方式得出二项式定理的表达式．在二项式定理的教学中，理解二项展开式中的二项式系数是学生学习的难点，同时也是教师教学的重点．从这组“问题链”中，我们可以看出，它的每个问题都带有明显的目的性，正因为有目的才体现出价值---能直指二项式定理的核心（二项式系数），突破本节教学的难点．
2. 适度性的原则
在数学教学的“问题链”的设计中，要注重各个问题的适度性．所有的问题相对于问题的解决者，都存在一定的“挑战”或者“障碍”的．高中学生的数学基础知识和经验有限，这也决定了在数学问题的设计时，既要考虑到问题解决对学生形成一定的障碍，又要考虑到他们的实际经验和知识储备情况．如果障碍远大于他们的经验，学生不仅不能顺利解决问题，自信心还容易受挫，不利于以后的进一步学习；如果问题过于简单，几乎不存在任何障碍，学生不需要思考就能得到答案，也难以持续解决问题的动机．根据维果茨基的“最近发展区”理论，那些与学生已有的知识经验密切联系，具有一定的思维容量和思维强度，需要经过学生努力思考才能解决的问题才是最适度的问题．因此，教师要力求设计一些难易适度、有助于学生形成“心求通而未得”的认知冲突的问题，才是有意义的．
案例2 矩阵的特征值和特征向量第二课时教学片断
问题：已知数列，满足其中，，求数列，的通项公式（苏教版高中数学选修4-2教材矩阵的应用例6的数列模型，实质上是特征值和特征向量的应用）．
在矩阵的特征值和特征向量的教学中，如果直接提出这样的一个问题，学生会感到极其困难．用矩阵来解决这个问题，难点有两个，其一是怎样去建立矩阵模型，其二是如何求解矩阵模型（涉及到多次重复变换）．这个数列问题和矩阵关联度不是非常明显，学生会感到迷茫，而且学生刚刚接触特征值和特征向量的概念，也难以解决这样的问题，所以直接提出这样的问题是不适度的．但我们可以将这个问题“加密”成学生易于理解和难度稍低的“问题链”，让学生经历“问题链”中各个问题解决的过程，体会其中的数学思想方法．可以设计如下的问题链：
问题1：已知二阶矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．
问题2：已知二阶矩阵，和，求和．
问题3：已知二阶矩阵，，求．
问题4：已知数列，满足其中，，
（1）若设列向量，是否存在二阶矩阵，使得对应的变换将变为，同时也可以将变成？
（2）求数列，的通项公式．
这个“问题链”中，问题1是作为所有后续问题的基础，问题2实质是求该矩阵连续作用在两个属于不同的特征值的特征向量上各50次后所得的列向量．问题2的解答可以让学生容易联想到对向量进行基向量（两个特征向量）分解来解答问题3．通过前3个问题的解答，可以较为顺利地突破上述求解矩阵模型的难点．最后的问题4，如果只给出第（2）问，则需要建立一个矩阵模型的，而这个建模的过程本身就是相当困难的，学生不容易想到．问题4的第（1）问的设置，是让学生用矩阵变换的语言来描述两个列向量之间的关系，让学生容易联想到建立矩阵模型．这个“问题链”的设计既可以达到教学的目标，同时也保护学生学习数学的自信心，保持学生学习数学的兴趣．
关于数学二轮复习的几点思考(1)
杨元韡
以“系统掌握基础知识、正确理解基本概念、深刻体会基本思想、灵活运用基本方法”为主旨的的一轮复习已经结束，高三数学进入了二轮复习阶段。二轮复习是由“量的积累”到“质的飞跃”即“由厚到薄”的过程，是形成知识系统化、条理化，全面提升能力的关键时期，它承上启下，其效果如何直接关系高考的成败。我就如何搞好高三数学二轮复习向同学们提出以下几点建议：
一、明确复习重点
数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次。《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度”。因此，二轮复习应在老师的指导下加强对《考试说明》的学习，它是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化，只有研究《考试说明》，分析高考试题，才能克服盲目性，提高针对性。
具体复习时，建议在三角复习时突出“三角函数的图像与性质”；将“导数”纳入“函数”系列复习；”数列复习应以“等差数列”、“等比数列”为重点；解析几何重在圆锥曲线的定义、标准方程和性质上；向量复习注意在几何方面的应用；“不等式的综合运用”应突出在数列中的综合；“直线和平面垂直的判定和性质”应以多面体为载体。
二、强化基础意识
二轮复习，老师将以专题形式组织复习，适当拔高，注重知识间的前后联系，更加关注能力的提升。数学高考历来注重基础知识和基本技能的考查，夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确，为高考打好坚实的基础。
虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。
三、构建知识网络
二轮复习要在形成知识体系上下足功夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，构建知识网络，完善认知结构。这样，解题时才能得心应手。数学知识网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化；数学知识网络应当是可延伸的，应随时接纳新的信息，不断丰富、不断完善。
四、提炼思想方法
数学思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，才能体现数学学科的特点，才能形成数学素质。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼。只有对数学思想、数学方法理解透彻融会贯通时，才能提出新解法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解题过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素养。
五、加强能力训练
高考命题强调以能力立意，全面考查考生的数学能力。在复习中要自觉学会观察与比较、分析与综合、抽象与概括，会用类比归纳和演绎推理合乎逻辑、规范准确地进行表述，努力提高理性思维能力；能根据公式、法则进行正确运算、变形和数据处理，真正做到“准确、熟练、快捷、合理”，不断提高运算能力；能观察、分析各种几何要素的相对位置关系，对图形进行变换、分解与组合，强化空间观念，发展空间想象能力。并要加强对高考真题的研究和训练，学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析与加工，独立思考，研究探索，解决问题，提高实践能力和创新意识。
六、注重考后反思
考前强化很重要，但要重质减量，狠抓落实，坚持在规定时间独立完成，要重点抓好答题的规范化训练，并从心理调节、时间分配、节奏把握及整个考试的运筹诸方面逐步适应高考的要求。每次考试经老师讲评后要及时总结反思，发现存在问题，明确改进方向。真正做到：退一步——触发灵感，进一步——认清本质，串一串——融会贯通，议一议——豁然开朗，从而提高练习的实效。
二轮复习绝不是一轮复习的翻版，要重点放在“做真题、练真功”上，全面整理、提炼已有知识并创造性地运用到新问题和新情景中去。如此，方能真正实现“知识的深化”和“能力的活化”。
高三数学二模考试的情况及反思（5.5）
杨元韡
今年我们高三在5月3-5日举行了苏锡常镇二模考试，就班级情况叙述如下：
本试卷的难度适中，填空题相对容易，解答题的要求相对平稳，但是对计算要求，特别是含有字母的运算的要求比较高。整张试卷对基础知识，基本技能的考查力度比较大，没有偏题怪题，较好地把握了高考的要求。班级的一卷平均得分为114.7分，与预期有一定的差距，首先第三道解答题与预期差距比较大，命题的本意是考查基本不等式，能用基本不等式解决实际应用问题。而班级不少同学通过消元转化成函数问题，而函数问题有较为复杂的字母运算，在这些同学中的大部分同学因为畏繁而放弃。其次第四道解答题与预期差距也比较大，本题主要考察的是解析几何中的定值定点问题，是江苏省高考命题的考查热点，本题的思路相对简单，但运算要求比较高，我们的同学在运算上缺乏耐心，缺乏毅力，粗枝大叶，所以只要很少的同学能顺利地算到最后的结果。班级的二卷平均得分为29.6分，跟预期基本相当。
在这次考试中暴露出来的最大问题是：学生计算能力是相当薄弱的，特别是带有字母的运算。为此，我们要在下一阶段注重这方面的训练。而解析几何是训练计算能力很好的载体，后面课堂上要留时间给学生当堂训练，要让学生在计算前说如何算，让学生不断地优化算理，更好地提高运算的效率。在备课组的统一安排下，我们数学备课组在后续的教学中还要安排与计算相关的有关专题，希望切实提高我们的同学的计算能力，确保高考不在计算上吃亏或者少吃亏。
关闭窗口
打印文档
账号登录
